Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=

log2(1-x)，x≤0 f(x-1)-f(x-2)，x＞0

，则f（2014）的值为（　　）

• A、-1
• B、0
• C、1
• D、2

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）满足f（x）=

log2(1-x)，x≤0 f(x-1)-f(x-2)，x＞0

，可得f（-1）=log₂2=1，f（0）=log₂1=0．f（1）=f（0）-f（-1）=-1，f（2）=f（1）-f（0）=-1-0=-1，…，可得f（n+6）=f（n），利用其周期性即可得出．

解答： 解：函数f（x）满足f（x）=

log2(1-x)，x≤0 f(x-1)-f(x-2)，x＞0

，
可得f（-1）=log₂2=1，f（0）=log₂1=0．
f（1）=f（0）-f（-1）=-1，f（2）=f（1）-f（0）=-1-0=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0，f（4）=f（3）-f（2）=0-（-1）=1，f（5）=f（4）-f（3）=1-0=1，
f（6）=f（5）-f（4）=1-1=0，f（7）=f（6）-f（5）=0-1=-1，…，
∴数列f（n）是以6为周期的数列．
∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=1．
故选；C．

点评：本题考查了分段函数的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．