Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，且c=1．
（Ⅰ）求tanA；
（Ⅱ）求a值．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（I）由已知及两角和与差的正切函数公式化简得tan(B+C)=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1，由A=180°-B-C，可得tanA=-tan（B+C）的值．
（Ⅱ）由（I）结论可得：A=135°，可得0＜C＜B＜90°，从而可求sinC=

10

10

，由正弦定理可解得a的值．

解答： 解：（I）因tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，tan(B+C)=

tanB+tanC

1-tanBtanC

…（1分）
代入得到，tan(B+C)=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1…（3分）
因为A=180°-B-C…（4分）
所以tanA=tan（180°-（B+C））=-tan（B+C）=-1…（6分）
（Ⅱ）∵0＜A＜180°，由（I）结论可得：A=135°…（7分）
∵tanB=

1

2

＞tanC=

1

3

＞0，
∴0＜C＜B＜90°
∴cos²C=

1

1+tan2C

=

9

10

，sinC=

1-cos2C

=

10

10

…（9分）
∴由正弦定理：

a

sinA

=

c

sinC

可解得：a=

5

…（12分）

点评：本题主要考查了正弦定理，两角和与差的正切函数公式的应用，解题时要注意讨论角的范围，属于中档题．