Question

复平面内，两点M、N所对应的非零复数是α，β（O是原点）．
（1）若α²+β²=0，则△OMN是

 

三角形．
（2）若2α²-2αβ+β²=0，则△OMN是

 

三角形．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）由α²+β²=0变形得（α+βi）（α-βi）=0，进一步得到α=βi或α=-βi，可得|α|=|±βi|=|β||i|=|β|，得到△OMN是等腰三角形，又设β=x+yi，则α=-y+xi或y-xi，由

OM

•

ON

=0得OM⊥ON．可得△OMN是等腰直角三角形；
（2）根据题意得α²+（α-β）²=0，得[α+（α-β）i][α-（α-β）i]=0，得到|OM|=|MN|，△OMN是等腰三角形，再设α=x+yi，则α-β=±（xi+y），由

OM

•

ON

=0得△OMN是等腰直角三角形．

解答： 解：（1）由α²+β²=0，得（α+βi）（α-βi）=0，
∴α=βi或α=-βi，
|α|=|±βi|=|β||i|=|β|，
∴OM=ON，
∴△OMN是等腰三角形，
又设β=x+yi，则α=-y+xi或y-xi，
∴N（x，y），M（-y，x）或（y，-x），
则

OM

•

ON

=-xy+xy=0，∴OM⊥ON．
∴△OMN是直角三角形．
∴△OMN是等腰直角三角形；
（2）根据题意得α²+（α-β）²=0，
∴[α+（α-β）i][α-（α-β）i]=0，
∴|α|=|（α-β）i|
∴|α|=|α-β|，
即|OM|=|MN|．
∴△OMN是等腰三角形，
设α=x+yi，
则α-β=±（xi+y），
∴

OM

•

ON

=0．
∴△OMN是等腰直角三角形．
故答案为：（1）等腰直角三角形；（2）等腰直角三角形．

点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了平面向量模的求法，是基础的计算题．