Question

已知函数f（x）=

3x，(x≥0) log3(-x)，(x＜0)

，设函数g（x）=f²（x）+f（x）+t，则关于g（x）的零点，下列说法正确的是

 

．（请填上你认为正确答案的序号）
①t=

1

4

时，g（x）有一个零点         
②-2＜t＜

1

4

时，g（x）有两个零点
③t=-2时，g（x）有三个零点        
④t＜-2时，g（x）有四个零点．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：作出函数f（x）的图象，函数的零点个数即为方程解的个数，令g（x）=0，结合条件讨论方程的根的情况，结合图象，即可判断4个选项，可得①②③正确，④错误．

解答： 解：作出函数f（x）的图象，如右．
对于①，t=

1

4

时，g（x）=f²（x）+f（x）+

1

4

，
令g（x）=0，则f（x）=-

1

2

，由图象可得y=-

1

2

和y=f（x）
只有一个交点，则零点个数为1，故①对；
对于②，-2＜t＜

1

4

时，由f²（x）+f（x）+t=0，
判别式△=1-4t，可得0＜

△

＜3，解得f（x）=

-1± △

2

，
即有-

1

2

＜f（x）＜1，或-2＜f（x）＜-

1

2

，
由图象可得有两个交点，则有2个零点，故②对；
对于③，t=-2时，g（x）=0，解得f（x）=-2或1，
由图象可得x₁=0，x₂=-3，x₃=-

1

9

，则有3个零点，故③对；
对于④，t＜-2时，由f²（x）+f（x）+t=0，
判别式△=1-4t，可得

△

＞3，解得f（x）=

-1± △

2

，
则有f（x）＞1或f（x）＜-2，则由图象可得有两个交点，
则有2个零点，故④错．
故答案为：①②③．

点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的零点的个数，考查数形结合的能力，考查运算能力，属于中档题和易错题．