Question

已知函数f（x）=2cos

π

6

sinx+2sin

π

6

cosx
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g（x）=f（x-

π

6

）+1，求直线y=2与y=g（x）在闭区间[0，π]上的图象的所有交点坐标．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式，得到f（x）=2sin（x+

π

6

），然后，结合正弦函数的单调性进行求解；
（2）首先，求解得到函数g（x）=2sinx+1，然后，利用数形结合思想求解．

解答： 解：∵函数f（x）=2cos

π

6

sinx+2sin

π

6

cosx
=2sin（x+

π

6

），
∴f（x）=2sin（x+

π

6

），
（1）令

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

3

+2kπ≤x≤

4π

3

+2kπ，
∴函数f（x）的单调递减区间[

π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ]，（k∈Z），
（2）g（x）=f（x-

π

6

）+1
=2sinx+1，
∴g（x）=2sinx+1，
∵2sinx+1=2，
∴2sinx=1，
∴sinx=

1

2

，
∵x∈[0，π]，
∴x=

π

6

或

5π

6

．
∴交点坐标（

π

6

，2），（

5π

6

，2）．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式、数形结合思想等知识，属于中档题．