Question

已知p：对任意x∈R，不等式x²+ax+a＞0恒成立，q：方程x²+ay²=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，如果命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：由p：对任意x∈R，不等式x²+ax+a＞0恒成立，可得△＜0，解得a的取值范围．由q：方程x²+ay²=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，得

x2

a

+y2=1，a＞1．由于命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，故p、q一真一假，解出即可．

解答： 解：p：对任意x∈R，不等式x²+ax+a＞0恒成立，∴△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4，得a的取值范围是0＜a＜4．
q：方程x²+ay²=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，得

x2

a

+y2=1，故a＞1．
∵命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，故p、q一真一假，
∴

0＜a＜4 a≤1

或

a≤0或a≥4 a＞1

，
解得0＜a≤1或a≥4．
综上实数a的取值范围是：0＜a≤1或a≥4．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、椭圆的标准方程、复合命题的判定，考查了推理能力，属于基础题．