Question

已知f（x）=|3x+

1

a

|+3|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）≥8的解集；
（Ⅱ）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的解析式，对x讨论，当x≥1时，当-

1

3

＜x＜1时，当x≤-

1

3

时，化简f（x），再解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，结合基本不等式，可得f（x）的最小值为2

3

，再由不等式恒成立思想，可令m不大于最小值，即可得到m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=|3x+1|+|3x-3|，
则当x≥1时，f（x）=3x+1+3x-3=6x-2≥8，解得x≥

5

3

，则为x≥

5

3

；
当-

1

3

＜x＜1时，f（x）=3x+1+3-3x=4≥8，无解，则x∈∅；
当x≤-

1

3

时，f（x）=-3x-1+3-3x=2-6x≥8，解得x≤-1，则为x≤-1．
综上可得x≤-1或x≥

5

3

．
则解集为（-∞，-1]∪[

5

3

，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|3x+

1

a

|+3|x-a|≥|（3x+

1

a

）+（3a-3x）|=|

1

a

+3a|
=3a+

1

a

≥2

3a• 1 a

=2

3

，
当且仅当3a=

1

a

即a=

3

3

时，取得最小值2

3

．
由于任意x∈R，f（x）≥m恒成立，
则m≤2

3

，
即有m的最大值为2

3

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．