Question

已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若bc=2，求边长a的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由条件利用正弦定理、诱导公式求出cosA=

1

2

，可得A的值．
（2）由条件利用余弦定理、基本不等式求出边长a的最小值．

解答： 解：（1）△ABC中，∵acosC+

1

2

c=b，∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴+

1

2

sinC=cosAsinC，sinC≠0．
∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc≥bc=2，
当且仅当b=c时，即△ABC为等边三角形时，取等号，故a的最小值为2．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．