Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．
（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离，
（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为点O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE，由已知得AD⊥OB，PE⊥AD，知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，从而∠PEB=120°，∠PEO=60°，由此能求出点P到平面ABCD的距离．
（2）取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，由已知得∠AGF是所求二面角的平面角，由此能求出面APB与面CPB所成二面角的余弦值．

解答： 解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为点O
连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=

3

，
∴PO=PE•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴点P到平面ABCD的距离为

3

2

．
（2）如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，
则AG⊥PB，FG∥BC，FG=

1

2

BC，
∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°
在Rt△PEG中，EG=PE•cos60°=

3

2

，
又AE=

1

2

AD=1，AG=

12+( 3 2 )2

=

7

2

，
于是cosn∠GAE=

EG

AG

=

3 2

7 2

=

21

7

，
又∠AGF=π-∠GAE
∴cos∠AGF=-

21

7

．
∴面APB与面CPB所成二面角的余弦值为-

21

7

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，涉及到线面垂直、二面角、点到平面距离、线面角等知识点，解题时要注意空间思维能力的培养．