Question

已知Rt△ABC（∠A=90°）的外接圆为圆O，过A的切线AM交BC于点M，过M作直线交AB，AC于点D，E，且AD=AE
（1）求证：MD平分角∠AMB；
（2）若AB=AM，求

MC

MA

的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由已知得∠ADE=∠AED，从而∠ABM+∠BMD∠EAM+∠AME，由弦切角定理得∠EAM=∠ABM，由此能证明MD平分角∠AMB．
（2）由等腰三角形性质和弦切角定理得∠ABM=∠AMC=∠MAC，从而∠ABC=30°，再推导出△AMC∽△BMA，由此能求出

MC

MA

的值．

解答： （1）证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∠ADE=∠ABM+∠BMD
∠AED=∠EAM+∠AME，
∵AM是切线，∴∠EAM=∠ABM，
∴∠BMD=∠AMD
∴MD平分角∠AMB．
（2）解：∵AB=AM，过A的切线AM交BC于点M，
∴∠ABM=∠AMC=∠MAC，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠AMB+∠MAC=3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
∵∠AMC=∠AMC，∠MAC=∠ABC，∴△AMC∽△BMA，
∴

MC

MA

=

AC

AB

，
∵tan∠ABC=

AC

AB

=tan30°=

3

3

，
∴

MC

MA

=

3

3

．

点评：本题考查MD平分角∠AMB的求明，考查

MC

MA

的值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理的合理运用．