Question

20．已知函数$f（x）=2-sin（2x+\frac{π}{6}）-2{sin^2}$x，x∈R
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若$f（\frac{B}{2}）=1，b=1，c=\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π（k∈Z）即可解得函数f（x）的单调区间．
（2）由f（$\frac{B}{2}$）=1得cos（B+$\frac{π}{3}$）=0，结合B的范围，可求B，由正弦定理可得sinC，解得C，即可解得a的值．

解答 解：（1）$f（x）=2-sin（2x+\frac{π}{6}）-2{sin^2}$x
=2-（sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$）-（1-cos2x）
=1+cos2x-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π（k∈Z）即可解得函数f（x）的单调区间是：[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z…6分
（2）由f（$\frac{B}{2}$）=1可得：cos（B+$\frac{π}{3}$）+1=1，即cos（B+$\frac{π}{3}$）=0，
∵0＜B＜π，∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{6}$，
∵b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
当C=$\frac{π}{3}$时，A=$\frac{π}{2}$，从而a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2；
当C=$\frac{2π}{3}$时，A=$\frac{π}{6}$，又B=$\frac{π}{6}$，从而解得a=b=1，
故a的值为1或2…12分

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于中档题．