Question

16．当且仅当a＜r＜b时，圆x²+y²=r²（r＞0）上恰好有两点到直线3x+4y+10=0的距离为1，则以（a，b）为圆心，且和直线3x+4y+10=0相切的圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=1．

Answer 1

分析 求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于1，即可满足题意，由此求得1＜r＜3，再由a＜r＜b 可得a=1，b=3，从而求得以（a，b）为圆心，且和直线4x-3y+10=0相切的圆的方程．

解答 解：圆心O（0，0）到直线3x+4y+10=0的距离d=$\frac{|0+0+10|}{\sqrt{9+16}}$=2，
由于圆x²+y²=r²（r＞0）上恰好有两点到直线3x+4y+10=0的距离为1，
故有|d-r|＜1，即|2-r|＜1，解得1＜r＜3．
再由a＜r＜b可得，a=1，b=3，
故（1，3）到直线4x-3y+10=0的距离为$\frac{|4-9+10|}{\sqrt{16+9}}$=1，
∴以（a，b）为圆心，且和直线4x-3y+1=0相切的圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=1，
故答案为：（x-1）²+（y-3）²=1．

点评 本题考查圆心到直线的距离公式的应用，注意题目条件的转化是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．