Question

若函数对任意的实数，，均有，则称函数

是区间上的“平缓函数”

(1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；

(2) 若数列对所有的正整数都有 ，设,

求证： .

Answer 1

（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）

(1) 解：是R上的“平缓函数”，但不是区间R的“平缓函数”；

设，则,则是实数集R上的增函数，

不妨设，则，即，      

则.   ①                        

又也是R上的增函数，则，      

即，      ②                              …

由①、②得    .            

因此,，对都成立.                

当时，同理有成立

又当时，不等式，

故对任意的实数，R,均有.

因此 是R上的“平缓函数”.                      

由于                        

取，，则，             

因此， 不是区间R的“平缓函数”.                 

（2）证明:由（1）得：是R上的“平缓函数”，

则， 所以 .    

而，

∴ .          

∵,

∴.            …

∴

                             

           .                     ………