Question

给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．重庆武中高2015级某学霸经探究发现：任何一个一元三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x³-

3

2

x2+

1

2

x+1，则f(

1

2015

)+f(

2

2015

)+…+f(

2014

2015

)=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，从而得到则f(

1

2015

)+f(

2

2015

)+…+f(

2014

2015

)的值．

解答： 解：由f（x）=x³-

3

2

x2+

1

2

x+1，得，
∴f′（x）=3x²-3x-

1

2

，
∴f^′′（x）=6x-3，由f^′′（x）=6x-3=0，得x=

1

2

，
∴f（

1

2

）=1，
∴f（x）的对称中心为（

1

2

，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f（

1

2015

）+f（

2014

2015

）=f（

2

1015

）+f（

2013

2015

）=…=f（

1007

2015

）+f（

1008

2015

）=2

∴f(

1

2015

)+f(

2

2015

)+…+f(

2014

2015

)=2014
故答案为：2014

点评：本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．