Question

7．设函数f（x）=4cos²?x-4$\sqrt{3$sin?x•cos?x的最小正周期为π（?＞0）．
（1）求?的值；
（2）若f（x）的定义域为[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，求f（x）的最大值与最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x），再根据周期为π求出ω的值；
（2）当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]时，利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大、最小值以及对应的x值．

解答 解：（1）函数f（x）=4cos²?x-4$\sqrt{3$sin?x•cos?x
=4•$\frac{1+cos2ωx}{2}$-4$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$sin2ωx
=2cos2ωx-2$\sqrt{3}$sin2ωx+2
=-4sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+2，
又f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
所以?=1；
（2）∵f（x）=-4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2的定义域为[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，即x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴2x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
所以sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]；
所以当sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-1时，f（x）取得最大值为-4×（-1）+2=6，此时x=-$\frac{π}{6}$；
当sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值为-4×$\frac{1}{2}$+2=0，此时x=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题目．