Question

16．已知命题p：?x∈[-1，1]，m≤x²，命题q：?x∈R，x²+mx+1＞0，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p为真时m的取值范围，命题q为真时m的取值范围；由p∧q为假命题，p∨q为真命题，得p为假q为真，或q为假p为真，从而求出m的取值范围．

解答 解：∵命题p：?x∈[-1，]，都有m≤x²，
而当x∈[-1，1]时，x²≥0，∴m≤0；
∵命题q：?x∈R，都有x²+mx+1＞0恒成立，
∴m²-2＜0，即-2＜m＜2；
又∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴当p为假命题q为真命题时：$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，即0＜m＜2；
当Q为假命题P为真命题时，$\left\{\begin{array}{l}{m≤0}\\{m≥2或m≤-2}\end{array}\right.$，即m≤-2；
综上，a的取值范围是：（-∞，-2]∪（0，2）．

点评 本题通过复合命题的真假性，考查了函数在闭区间上的最值问题，以及一元二次不等式的恒成立问题，是综合题目．