Question

5．已知A（1，-2，1），向量$\overrightarrow{a}$=（-3，4，12），若向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{a}$的方向相同，且|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{a}$|
（1）求点B的坐标；
（2）若点M在直线OA（O为坐标原点）上运动，当$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取最小值时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设B（x，y，z），根据$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$列方程解出x，y，z；
（2）由O，A，M三点共线可设$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$，求出$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}$的坐标，得出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$关于λ的函数，利用二次函数的性质求出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取最小值时对应的λ的值，从而得出M的坐标．

解答 解：（1）设B（x，y，z），则$\overrightarrow{AB}$=（x-1，y+2，z-1），
∵向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{a}$的方向相同，且|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$．∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-6}\\{y+2=8}\\{z-1=24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=6}\\{z=25}\end{array}\right.$．
∴B（-5，6，25）．
（2）∵点M在直线OA（O为坐标原点）上运动，∴$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$=（λ，-2λ，λ）．
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}$=（1-λ，-2+2λ，1-λ），$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}$=（-5-λ，6+2λ，25-λ）．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1-λ）（-5-λ）+（-2+2λ）（6+2λ）+（1-λ）（25-λ）=6λ²-14λ+8=6（λ-$\frac{7}{6}$）²-$\frac{1}{6}$．
∴当$λ=\frac{7}{6}$时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取得最小值．
∴M（$\frac{7}{6}$，-$\frac{7}{3}$，$\frac{7}{6}$）．

点评 本题考查了向量的共线定理，向量的数量积运算，二次函数的最值，属于中档题．