Question

2．过点N（0，-1）作直线l与抛物线y²=x相交于A，B两点，M为弦AB的中点，P（4，1）为定点，且M与P不重合，求直线PM在y轴上的截距b的取值范围（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）∪（1，+∞）
• D． （$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 设直线l：y=kx-1，代入抛物线的方程，运用判别式大于0和韦达定理、中点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式可得PM的斜率和方程，令x=0，求得b的解析式，由k的范围，可得b的范围．

解答 解：设直线l：y=kx-1，代入抛物线y²=x，
可得k²x²-（2k+1）x+1=0，（k≠0），
则△=（2k+1）²-4k²=4k+1＞0，即k＞-$\frac{1}{4}$①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{2k+1}{{k}^{2}}$，
可得M（$\frac{2k+1}{2{k}^{2}}$，$\frac{1}{2k}$），
由x₁，x₂＞0，可得x₁+x₂=$\frac{2k+1}{{k}^{2}}$＞0，
即为k＞-$\frac{1}{2}$，且k≠0②
由①②可得k＞-$\frac{1}{2}$且k≠0，
即有直线PM的方程为y-1=$\frac{\frac{1}{2k}-1}{\frac{2k+1}{2{k}^{2}}-4}$（x-4），
即为y-1=$\frac{k}{1+4k}$（x-4），k≠$\frac{1}{2}$，
令x=0，可得b=1-$\frac{4k}{1+4k}$=$\frac{1}{1+4k}$，
由k＞-$\frac{1}{2}$且k≠0，k≠$\frac{1}{2}$，可得：
b＞0，且b≠$\frac{1}{3}$，b≠1．
即有b的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）∪（1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查直线和抛物线方程联立，运用判别式大于0，韦达定理和中点坐标公式，以及直线方程和截距的概念，考查运算能力，属于中档题．