Question

7．在平面直角坐标系xOy中，过点P（-2，0）的直线与圆x²+y²=1相切于点T，与圆（x-a）²+（y-$\sqrt{3}}$）²=3相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4．

Answer 1

分析 设过点P（-2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，不妨取k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由勾股定理得PT=RS=$\sqrt{3}$，再由圆心（a，$\sqrt{3}$）到直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）的距离能求出结果．

解答 解：设过点P（-2，0）的直线方程为y=k（x+2），
∵过点P（-2，0）的直线与圆x²+y²=1相切于点T，
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，不妨取k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
PT=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，∴PT=RS=$\sqrt{3}$，
∵直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）与圆${（{x-a}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=3$相交于点R，S，且PT=RS，
∴圆心（a，$\sqrt{3}$）到直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}a-\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$，
由a＞0，解得a=4．
故答案为：4．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．