Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=2，AA₁=2$\sqrt{2}$，D是AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，且CO⊥平面ABB₁A₁．
（1）证明：CD⊥AB₁；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据△DAB∽△ABB得出BD⊥AB₁．根据CO⊥平面ABB₁A₁得出CO⊥AB₁，于是AB₁⊥平面BCD，从而得出CD⊥AB₁；
（2）根据三角形相似计算OA，OB，OC，OD，以O为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{CD}$及平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$，计算|cos＜$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{n}$＞|即可．

解答 （1）证明：∵D是矩形AA₁的中点，∴AD=$\frac{1}{2}$AA₁=$\sqrt{2}$
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{B{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴△DAB∽△ABB₁，∴∠ABD=∠AB₁B，
∵∠BAB₁+∠AB₁B=90°，∴∠BAB₁+∠ABD=90°，∴BD⊥AB₁．
∵CO⊥平面ABB₁A₁，AB₁?平面ABB₁A₁，
∴CO⊥AB₁，又CO?平面BCD，BD?平面BCD，CO∩BD=O，
∴AB₁⊥平面BCD，∵CD?平面BCD，
∴CD⊥AB₁．
（2）解：以O为原点，以OD，OB₁，OC为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则A（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），B（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0，0），C（0，0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），D（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0，0）．
∴$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{6}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}$=$\sqrt{6}$，∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直线CD与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．