Question

15．如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点，现将△DAE沿AE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，BE．

（Ⅰ）求证：BE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由勾股定理得AE⊥BE，由等腰三角形的性质得MD⊥AE，由面面垂直的性质得MD⊥平面ABCE，由此能证明BE⊥平面ADE．
（Ⅱ）利用等体积法，求点A到平面D₁BC的距离

解答 （Ⅰ）证明：∵在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点，
∴AE=EB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵AB=2，∴AB²=AE²+BE²，∴AE⊥BE，
取AE的中点M，连接MD，则AD=DE，∴MD⊥AE，
∵平面DAE⊥平面ABCE，∴MD⊥平面ABCE，∴MD⊥BE，
∵MD∩AE=M，∴BE⊥平面ADE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ADE，
可得：V_D-ABE=V_B-ADE，
h_D表示D到底面ABE的距离．h为所求的距离．
$\frac{1}{3}•{S}_{△ABE}•{h}_{D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•h$，
$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}×AE×BE×\frac{\sqrt{2}}{2}AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×BE×h$，
$\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$1×\sqrt{2}×h$，
解得：h=1．
点A到平面BDE的距离为1．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判断，考查点面距离的计算，正确利用线面垂直的判定是关键．