Question

2．若函数f（x）=x+$\frac{b}{x}$（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间上单调递增的是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． （-1，0）
• C． （0，1）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 本题先根据导函数在区间（1，2）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．

解答 解：∵函数f（x）=x+$\frac{b}{x}$（b∈R），
∴f′（x）=1-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
∵函数f（x）=x+$\frac{b}{x}$（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点
∴当1-$\frac{b}{{x}^{2}}$=0时，b=x²，x∈（1，2）
∴b∈（1，4）
令f'（x）＞0 得到x$＜-\sqrt{b}$或x$＞\sqrt{b}$，
即f（x）的单调增区间为（-∞，-$\sqrt{b}$），（$\sqrt{b}$，+∞），
∵b∈（1，4），
∴（2，+∞）适合题意．
故选：D．

点评 本题在研究了b的取值范围后，得到了函数f（x）的单调增区间，在选择选项时，要注意选择恒成立的选项．