Question

6．已知一组函数f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx，x$∈[0，\frac{π}{2}$]，n∈N^*，则下列说法正确的是（1）（2）（4）
（1）?n∈N^*，f_n（x）≤$\sqrt{2}$恒成立．
（2）f₄（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上单调递减，在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增．
（3）n为大于1的奇函数时，f_n（x）的最小正周期为π．
（4）n为大于2的偶函数时，f_n（x）的值域为[（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n}{2}-1}$，1]．

Answer 1

分析 （1）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx≤sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），即可判断出正误；
（2）利用平方关系、倍角公式可得：f₄（x）=$\frac{1}{4}$cos4x+$\frac{3}{4}$，即可判断出其单调性；
（3）根据函数周期性的定义，可得n为大于1的奇数时，f_n（x）的最小正周期为2π．
（4）求出函数的最值，进而得到函数的值域．

解答 解：（1）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx≤sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，因此（1）正确；
（2）f₄（x）=sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-$\frac{1}{2}$sin²2x=1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1-cos4x}{2}$=$\frac{1}{4}$cos4x+$\frac{3}{4}$，当x∈[0，$\frac{π}{4}$]，4x∈[0，π]，因此f₄（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上单调递减，当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，4x∈[π，2π]，因此f₄（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，因此（2）正确．
（3）当n为大于1的奇数时，令n=2k+1，k∈N^*时，f（x+2π）=f（x），
∴2π 是 f（x） 的一个周期．
令f（x）=0，可得tanⁿx=-1，即tanx=-1．
解得x=$\frac{3π}{4}$+kπ，k∈N^*，下面证明2π 是 f（x）的最小正周期：
①当 T₁∈（0，2π）且T₁≠π是其周期，
取 x₁=$\frac{3π}{4}$-T₁．
则 f（x₁）≠0，f（x₁+T₁）=0．
所以T₁不是f（x） 的周期．
②当T₂=π 时，
取x₂=0．
则 f（x₂）=1，f（x₂+T₂）=-1．
所以T₂不是f（x）的周期．
综上，当 n=2k+1，k∈N^*时，
f（x）的最小正周期是 2π．故（3）错误；
（4）n为大于2的偶函数时，当x=0，或x=$\frac{π}{2}$时，f_n（x）取最大值1，
当x=$\frac{π}{4}$时，f_n（x）取最小值1，[（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n}{2}-1}$，
故函数的值域为[（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n}{2}-1}$，1]，故（4）正确；
综上可得：（1）（2）（4）都正确．
故答案为：（1）（2）（4）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．