Question

16．命题p：“函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+（a-$\frac{3}{4}$）x+1在R上既有增区间又有减区间”，命题q：“不等式ax²+2ax+1＞0对一切实数x都成立”，若“p或q”与“非q”同时为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q成立的a的范围，判断出p真，q假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：关于命题p：“函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+（a-$\frac{3}{4}$）x+1在R上既有增区间又有减区间”
即方程f′（x）=x²+ax+（a-$\frac{3}{4}$）=0有2个不相等的实数根，
∴△=a²-4a+3＞0，解得：a＞3或a＜1；
关于命题q：“不等式ax²+2ax+1＞0对一切实数x都成立”
a=0时：1＞0，成立，
a≠0时：则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜1，
故0≤a＜1，
若“p或q”与“非q”同时为真，
则p真，q假，$\left\{\begin{array}{l}{a＞3或a＜1}\\{a≥1或a＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＞3或a＜0，
∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪（3，+∞）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，函数的单调性问题，是一道中档题．