Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a-1）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 对a分类讨论，利用二次函数与指数函数的单调性即可判断出．

解答 解：①当a＞0时，当x≥0时，函数f（x）=ax²+1在[0，+∞）上单调递增；
由于函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，因此当x＜0时，函数f（x）=（a-1）e^ax在（-∞，0）上也单调递增，而y=e^ax在（-∞，0）上也单调递增，且1≥a-1．∴1≥a-1＞0，解得2≥a＞1．
∴2≥a＞1．
②当a＜0时，当x≥0时，函数f（x）=ax²+1在[0，+∞）上单调递减；
由于函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，因此当x＜0时，函数f（x）=（a-1）e^ax在（-∞，0）上也单调递减，而y=e^ax在（-∞，0）上单调递减，∴a-1＜0，1≤a-1，无解．
③当a=0时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，函数f（x）不单调，舍去．
综上可得：实数a的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查了二次函数与指数函数的单调性、分段函数与复合函数单调性的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．