Question

5．已知F₁，F₂为双曲线x²-y²=1的两个焦点，P为双曲线上一点，且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得 F₂（$\sqrt{2}$，0），F₁ （-$\sqrt{2}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂=4，由${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°，计算即可得到所求．

解答 解：由双曲线x²-y²=1的a=b=1，c=$\sqrt{2}$，
F₂（$\sqrt{2}$，0），F₁ （-$\sqrt{2}$，0），
由余弦定理可得，
F₁F₂²=8=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°
=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=4+PF₁•PF₂，
∴PF₁•PF₂=4．
则${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出PF₁•PF₂的值，是解题的关键．