Question

10．双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的左焦点为F，双曲线与直线l：y=kx交于A、B两点，且∠AFB=$\frac{π}{3}$，则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，设双曲线的右焦点为F'．连AF'，BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，设AF=m，由双曲线的定义可得AF'=BF=m-2，运用余弦定理，可得m=4，再由向量的数量积的定义，计算即可得到所求．

解答 解：x²-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的a=1，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{7}$，
设双曲线的右焦点为F'．连AF'，BF'，
可得四边形AFBF'为平行四边形，
即有AF'=BF，∠FAF'=120°，
设AF=m，由双曲线的定义可得AF'=BF=m-2，
在△AFF'中，由余弦定理可得，
cos120°=$\frac{{m}^{2}+（m-2）^{2}-4×7}{2m（m-2）}$=-$\frac{1}{2}$，
解得m=4，
即AF=4，BF=2，
则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=|$\overrightarrow{FA}$|•|$\overrightarrow{FB}$|cos60°=4×2×$\frac{1}{2}$=4．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，以及向量的数量积的定义，属于中档题．