Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆C：x²+y²-6y+5=0相切，且双曲线的焦距为6，则该双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程和圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件：d=r，求得a=2，进而得到b，即有椭圆方程．

解答 解：∵双曲线的焦距为6，∴c=3，
圆的标准方程为x²+（y-3）²=4，即圆心为（0，3），半径r=2．
双曲线的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0．
圆心到直线bx-ay=0的距离为$\frac{|-3a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=r=2，
即9a²=4（a²+b²），即9a²=4c²，
∴a²=4，b²=c²-a²=5．
∴该双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．