Question

13．如图为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的平面展开图，其中E、M、N分别为A₁D₁、BC、CC₁的中点，
（Ⅰ） 作出该正方体的水平放置直观图；
（Ⅱ） 求证：平面BEC₁∥平面D₁MN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据该正方体的平面展开图及斜二测画法即可作出该正方体的水平放置的直观图；
（Ⅱ）根据中位线的性质便有MN∥BC₁，从而得出MN∥平面BEC₁，可以说明四边形BMD₁E为平行四边形，从而得到MD₁∥平面BEC₁，从而由面面平行的判定定理即可得出平面BEC₁∥平面D₁MN．

解答 解：（Ⅰ）该正方体的水平放置直观图如下图所示：

（Ⅱ）证明：M，N分别为BC，CC₁的中点；
∴MN∥BC₁，BC₁?平面BEC₁，MN?平面BEC₁；
∴MN∥平面BEC₁；
又E为A₁D₁中点；
∴ED₁∥BM，且ED₁=BM；
∴四边形BMD₁E为平行四边形；
∴MD₁∥BE；
∴MD₁∥平面BEC₁，MN∩MD₁=M；
∴平面BEC₁∥平面D₁MN．

点评 考查正方体的水平放置的直观图的画法，由立体图形的平面展开图，可以画出其水平放置的直观图，以及中位线的性质，线面平行的判定定理，平行四边形的判定，面面平行的判定定理．