Question

13．已知数列{a_n}与{b_n}满足：a₁=1，b_n=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$且a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（-2）ⁿ，
（1）求a₂，a₃的值：
（2）令c_k=a_2k+1-a_2k-1，k∈N^*，证明：{c_k}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系即可求a₂，a₃的值：
（2）分别令n=2k，n=2k-1，化简条件，利用构造法先求出c_k=a_2k+1-a_2k-1，k∈N^*的通项公式，即可证明：{c_k}是等比数列．

解答 解：（1）∵a₁=1，b_n=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$，
∴b₁=$\frac{3-1}{2}$=1，b₂=$\frac{3+1}{2}$=2，b₃=1，b₄=2，
∵a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（-2）ⁿ，
∴当n=1时，a₁b₂+a₂b₁=1-2=-1，
即2+a₂=-1，则a₂=-3，
当n=2时，a₂b₃+a₃b₂=1+4=5，
即-3+2a₃=5，则a₃=4．
（2）由（1）知当n为奇数时，b_n=1，
当n为偶数时，b_n=2，
∵a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（-2）ⁿ，
∴令n=2k，则a_2kb_2k+1+a_2k+1b_2k=1+（-2）^2k，
即a_2k+2a_2k+1=1+（-2）^2k，①
令n=2k-1，则a_2k-1b_2k+a_2kb_2k-1=1+（-2）^2k-1
即2a_2k-1+a_2k=1+（-2）^2k-1，②
①一②得2a_2k+1-2a_2k-1=1+（-2）^2k-1+（-2）^2k-1=4^k-$\frac{1}{2}$•4^k=$\frac{1}{2}$•4^k，
即a_2k+1-a_2k-1=$\frac{1}{4}$•4^k，
∵c_k=a_2k+1-a_2k-1，k∈N^*，
∴c_k=$\frac{1}{4}$•4^k，k∈N^*，
则当k≥2时，$\frac{{c}_{k}}{{c}_{k-1}}$=$\frac{\frac{1}{4}•{4}^{k}}{\frac{1}{4}•{4}^{k-1}}$=4为常数，
即{c_k}是等比数列．

点评 本题主要考查递推数列的应用，利用构造法结合等比数列的定义是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．