Question

10．记函数f（x）=log₂（2x-5）的定义域为集合A，函数g（x）=$\sqrt{（x-3）（x-1）}$的定义域为集合B，集合C={x|a＜x＜2a-1}
（1）求集合A∪B，A∩∁RB；
（2）若B∩C=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0求得x的取值集合化简A，B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案；
（2）由B∩C=∅，分C为空集和非空讨论，当C非空时，结合两集合端点值间的关系得答案．

解答 解：由2x-5＞0，得x$＞\frac{5}{2}$，∴A={x|x$＞\frac{5}{2}$}，
由（x-3）（x-1）≥0，得x≤1或x≥3，∴B={x|x≤1或x≥3}．
（1）A∪B={x|x$＞\frac{5}{2}$}∪{x|x≤1或x≥3}=（-∞，1]∪（$\frac{5}{2}，+∞$）；
∁_RB=（1，3），∴A∩∁_RB=（$\frac{5}{2}，+∞$）∩（1，3）=（$\frac{5}{2}，3$）；
（2）∵C={x|a＜x＜2a-1}，
当a≥2a-1，即a≤1时，C=∅，满足B∩C=∅；
当a＜2a-1，即a＞1时，若B∩C=∅，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤3}\end{array}\right.$，即1＜a≤2．
综上，a≤2．
故使B∩C=∅的实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查函数定义域的求法，考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．