Question

9．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2}$$\root{4}{\frac{1}{x}}$）ⁿ展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有有理项．

Answer 1

分析 展开式中前三项的系数成等差数列可得n的值，再写出通项，即可得出展开式中的有理项；

解答 解：由于T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（$\sqrt{x}$）^n-r（$\frac{1}{2}\root{4}{\frac{1}{x}}$）^r=${C}_{n}^{r}$（$\frac{1}{2}$）^r${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
则展开式中前三项的系数分别为1，$\frac{n}{2}$，$\frac{n（n-1）}{8}$，
则有2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，解得n=8（1舍去）．
则T_r+1=${C}_{8}^{r}$（$\frac{1}{2}$）^r${x}^{\frac{16-3r}{4}}$，
则有r=0，4，8时，为有理项，且为x⁴，${C}_{8}^{4}$•（$\frac{1}{2}$）4x=$\frac{35}{8}$x，$\frac{1}{256}$x^-2．

点评 本题考查二项式定理的应用及等差数列的性质，考查组合数的计算公式，二项展开式的通项公式，关键是掌握二项展开式的通项公式