Question

在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosBcosC（1-tanBtanC）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2

7

，△ABC的面积为2

3

，求b+c的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式括号中第二项利用同角三角函数间基本关系切化弦后，整理求出cos（B+C）的值，进而求出cosA的值，确定出A的度数；
（2）利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积与sinA的值代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，将a，bc，以及cosA的值代入，开方即可求出b+c的值．

解答： 解：（1）∵2cosBcosC（1-tanBtanC）=2cosBcosC（1-

sinBsinC

cosBcosC

）=1，
∴2（cosBcosC-sinBsinC）=1，即cos（B+C）=

1

2

，
∵B+C=π-A，
∴cosA=-

1

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=

2π

3

；
（2）∵sinA=

3

2

，S=2

3

，
∴

1

2

bcsinA=2

3

，即

3

4

bc=2

3

，
∴bc=8，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
将a=2

7

，bc=8代入得：（b+c）²=36，
解得：b+c=6．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．