Question

已知函数f（x）=

1

3

mx³-（2+

m

2

）x²+4x+1，g（x）=mx+5
（Ⅰ）当m≥4时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）是否存在m＜0，使得对任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用导数研究函数的单调性．由于参数m决定了

4

m

与1的大小关系，从而决定导数的正负，因此必须进行分类讨论，通过比较

4

m

与1的大小，求出函数的单调增区间；
（2）先假设存在，将对任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1转化为f（x）_max-f（x）_min≤1，从而得到关于m的不等式，求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

mx3-(2+

m

2

)x2+4x+1，∴f′（x）=mx²-（4+m）x+4=（mx-4）（x-1）
1）若m＞4，则0＜

4

m

＜1，此时x∈(-∞，

4

m

)∪(1，+∞)都有f/(x)＞0，x∈(

4

m

，1)，
有f′（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为(-∞，

4

m

]和[[1，+∞）；
2）若m=4，则f′（x）=4（x-1）²≥0，∴f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
（Ⅱ）当m＜0时，f/(x)=mx2-(4+m)x+4=m(x-

4

m

)(x-1)且

4

m

＜1
∴当2≤x≤3时，都有f′（x）＜0
∴此时f（x）在[2，3]上单调递减，∴f(x)max=f(2)=

2

3

m+1
又g（x）=mx+5在[2，3]上单调递减，∴g（x）_min=g（3）=3m+5
∴

2

3

m+1-3m-5≤1，解得m≥-

15

7

，又m＜0，
所以-

15

7

≤m＜0

点评：利用导数研究含参函数的单调区间，关键是解不等式，因此要研究不等式所对应的方程根的大小，同时应注意对参数的讨论；研究是否存在问题，通常先假设存在，转化为封闭性问题，对于任意性的恒成立问题，一般应利用到函数的最值，而最值的确定又通常利用导数的方法解决．