Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数 的单调性；

（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1) 求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数的增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2) 曲线在点处的切线方程和联立可得：，设,通过讨论的范围，求出函数的单调区间，判断函数的零点个数，确定的范围即可.

（1），设

①当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减；

② 当时，(当且仅当时)，所以在上单调递增；

③ 当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减；

④当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）曲线在点处的切线方程为，切线方程和联立可得：，现讨论该方程根的个数：

设， 所以.

，设，则.

①当时，，所以在上单调递减，

又，所以在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，

又，所以只有唯一的零点，由的任意性，所以不符合题意；

② 当时，在上小于零，在上大于零，所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上小于或等于零，且有唯一的零点.

函数开口向上，若其判别式不大于零，

则对任意，有；若其判别式大于零，设其右侧的零点为，则对任意的，有，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一；

当时，可得，所以在上单调递增，所以其只有唯一的零点；

当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上大于或等于零，且有唯一的零点.

函数在区间上一定存在最大值，设为，若，则在上小于零.若，当时，，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一.

综上，当 时，曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.