【题目】已知函数.
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若曲线上存在唯一的点
,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1) 求出,分四种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
的增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2) 曲线
在点
处的切线方程和
联立可得:
,设
,通过讨论
的范围,求出函数的单调区间,判断函数的零点个数,确定
的范围即可.
(1),设
①当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
单调递减;
② 当时,
(当且仅当
时
),所以
在
上单调递增;
③ 当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
单调递减;
④当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)曲线在点
处的切线方程为
,切线方程和
联立可得:
,现讨论该方程根的个数:
设, 所以
.
,设
,则
.
①当时,
,所以
在
上单调递减,
又,所以
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
又,所以
只有唯一的零点
,由
的任意性,所以不符合题意;
② 当时,
在
上小于零,在
上大于零,所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,所以
在
上小于或等于零,且有唯一的零点
.
函数开口向上,若其判别式不大于零,
则对任意,有
;若其判别式大于零,设其右侧的零点为
,则对任意的
,有
,所以在区间
上,存在零点,综上
的零点不唯一;
当时,可得
,所以
在
上单调递增,所以其只有唯一的零点
;
当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,所以
在
上大于或等于零,且有唯一的零点
.
函数在区间
上一定存在最大值,设为
,若
,则
在
上小于零.若
,当
时,
,所以在区间
上,
存在零点,综上
的零点不唯一.
综上,当
时,曲线
上存在唯一的点
,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点
.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1) 证明:PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积
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【题目】随着计算机的出现,图标被赋予了新的含义,又有了新的用武之地.在计算机应用领域,图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标,该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形,每一个矩形的长为3、宽为1;第二部分为圆环部分,大圆半径为3,小圆半径为2;第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点,则此点取自图标第三部分的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆C:的左、右顶点分别为A,B,离心率为
,点P(1,
)为椭圆上一点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,过点C(0,1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M,N两点,记直线AM的斜率为k1,直线BN的斜率为k2,若k1=2k2,求直线l斜率的值.
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【题目】已知圆O经过椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点,且点(b,
)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.
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【题目】已知数列{an}中,a1=1,a2=a,且an+1=k(an+an+2)对任意正整数n都成立,数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若,且S2019=2019,求a;
(2)是否存在实数k,使数列{an}是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项am,am+1,am+2按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有k的值;若不存在,请说明理由;
(3)若,求Sn.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程是:
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程.
(2)点是曲线
上的动点,求点
到直线
距离的最大值与最小值.
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