【题目】如图，在三棱柱
中，四边形
是长方形，
，
，
，
，连接EF．
证明：平面
平面
；
若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）先证明
平面
，从而证得
平面，从而可得
是平面
与平面
所成二面角的平面角．再利用平行四边形
为菱形即可证得平面与平面所成二面角的平面角为直角，问题得证。
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量坐标，利用向量夹角坐标公式即可求得其余弦值，问题得解。
证明：在三棱柱
中，
，
，
又
在长方形
中，
，
，
平面
B.
四边形与四边形
均是平行四边形，
且
，
，连接EF，
．
又，
，
又平面，
平面B.
又
，
均在平面内，
，
B.
又平面
平面
，
平面，
平面．
由二面角的平面角的定义知，是平面与平面所成二面角的平面角．
又在平行四边形中，
，平行四边形为菱形，
由菱形的性质可得，
，
，
平面
平面；
解：由及题设可知，四边形是菱形，
，
，
在
中，由余弦定理可得
．
又由知，EB，EA，EF两两互相垂直，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
0，
，
0，，
，
，
0，．
，
，
，
．
设平面
的法向量为
，平面
的一个法向量为
．
由
，取
，得
；
由
，取
，得
．
．
设二面角
的大小为
，
则
．
二面角的正弦值为．
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【题目】已知直线
与椭圆
相交于
两点.
（1）若椭圆的离心率为
，焦距为2，求线段
的长；
（2）若向量
与向量
互相垂直（其中
为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆的长轴长的最大值.
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【题目】设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，过点与
垂直的直线交
轴负半轴于点
，且
恰是
的中点，若过
三点的圆恰好与直线
相切.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线
与椭圆交于
两点，在轴上是否存在点
，使得以
为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出
的值；如果不存在，请说明理由.
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【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点点N在线段AD上.
（1）点N为线段AD的中点时，求证：直线PA∥面BMN；
（2）若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为
，求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值.
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【题目】已知椭圆 
的长轴长为4，焦距为
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过动点
的直线交
轴与点
，交
于点
(
在第一象限)，且
是线段
的中点.过点
作
轴的垂线交
于另一点
，延长
交
于点
.
（ⅰ）设直线
的斜率分别为
，证明
为定值；
（ⅱ）求直线
的斜率的最小值.
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【题目】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．
求证：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．
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【题目】已知椭圆
：
（
）的离心率为
，椭圆
与
轴交于
两点，且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点
是椭圆上的一个动点，且点
在轴的右侧，直线
与直线
交于
两点，若以
为直径的圆与
轴交于
，求点
横坐标的取值范围及
的最大值．
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