【题目】如图,在三棱柱中,四边形
是长方形,
,
,
,
,连接EF.
证明:平面
平面
;
若
,
,
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)先证明平面
,从而证得
平面
,从而可得
是平面
与平面
所成二面角的平面角.再利用平行四边形
为菱形即可证得平面
与平面
所成二面角的平面角为直角,问题得证。
(2)建立空间直角坐标系,求出平面与平面
的法向量坐标,利用向量夹角坐标公式即可求得其余弦值,问题得解。
证明:在三棱柱
中,
,
,
又在长方形
中,
,
,
平面
B.
四边形
与四边形
均是平行四边形,
且,
,连接EF,
.
又,
,
又平面
,
平面
B.
又,
均在平面
内,
,
B.
又平面平面
,
平面
,
平面
.
由二面角的平面角的定义知,
是平面
与平面
所成二面角的平面角.
又在平行四边形中,
,
平行四边形
为菱形,
由菱形的性质可得,,
,
平面
平面
;
解:由
及题设可知,四边形
是菱形,
,
,
在
中,由余弦定理可得
.
又由知,EB,EA,EF两两互相垂直,以E为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系.
0,
,
0,
,
,
,
0,
.
,
,
,
.
设平面的法向量为
,平面
的一个法向量为
.
由,取
,得
;
由,取
,得
.
.
设二面角的大小为
,
则.
二面角
的正弦值为
.
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【题目】已知直线与椭圆
相交于
两点.
(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段
的长;
(2)若向量与向量
互相垂直(其中
为坐标原点),当椭圆的离心率
时,求椭圆的长轴长的最大值.
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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,上顶点为
,过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
,且
恰是
的中点,若过
三点的圆恰好与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于
两点,在
轴上是否存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点点N在线段AD上.
(1)点N为线段AD的中点时,求证:直线PA∥面BMN;
(2)若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值.
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【题目】已知椭圆 的长轴长为4,焦距为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过动点的直线交
轴与点
,交
于点
(
在第一象限),且
是线段
的中点.过点
作
轴的垂线交
于另一点
,延长
交
于点
.
(ⅰ)设直线的斜率分别为
,证明
为定值;
(ⅱ)求直线的斜率的最小值.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点M为棱A1B1的中点.
求证:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面C1CM⊥平面A1B1C.
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【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,椭圆
与
轴交于
两点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上的一个动点,且点
在
轴的右侧,直线
与直线
交于
两点,若以
为直径的圆与
轴交于
,求点
横坐标的取值范围及
的最大值.
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