Question

【题目】已知直线与椭圆相交于两点.

（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；

（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知可先求得椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆方程求得关于的一元二次方程，结合韦达定理和弦长公式即可求得；

（2）设，由向量与向量互相垂直可得，同时联立直线与椭圆方程可得，消去得：，结合韦达定理和前式代换，最终可整理得，结合即可得到关于的不等式，进而求出长轴长的范围

（1）,即，，则.

∴椭圆的方程为，联立消去得：，

设，则.；

（2）设，

，即，

由消去得，

由，

整理得.

又，

得：

整理得：①，，代入①式得

，适合条件

由此得，故长轴长的最大值为.