【题目】设整数是区间
中的不同整数.证明:集合
有这样的子集存在,它的所有元素之和能被
整除.
【答案】见解析
【解析】
1.若,则
个整数
都属于
.于是,其中至少有二数相等,令
.
因,必有
.
于是能被
整除.
2.若.不妨设
,考虑
个整数
,在其中任取三个数
.若
均能被
整除,则
,
从而,,与
矛盾.
故中至少有两个数之差不能被
整除.
不妨设与
的差不能被
整除,考虑
个整数:
.
i. 若这个数关于模
的余数都不同,则其中必有一个数能被
整除,令此数为
.若
为偶数,结论成立;若
为奇数,加上
即构成所需要的子集.
ii. 若这些数关于模有两个以上的数同余,则任取其中二数之差必被
整除,对照这些数的表达式知,因为
和
不同余,故二同余的数之差必为原集合中若干数之和.不妨仍记此和为
,以下讨论同i.
注:是必要的,例如
时,结论对(0,6)的子集{1,3,4}不成立.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在第(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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【题目】据气象中心观察和预测:发生于甲地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度与时间
的函数图象图所示,过线段
上一点
作横轴的垂线
,梯形
在直线
左侧部分的面积即为
内沙尘暴所经过的路程
.
(1) 当时,求
的值;
(2)将随
变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若乙城位于甲地正南方向,且距甲地,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到乙城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到乙城?如果不会,请说明理由.
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【题目】给出下列命题:
①非零向量满足
,则
和
的夹角为30°;
②将函数 的图像按向量
平移,得到函数
的图像;
③在三角形ABC中,若 ,则三角形ABC为等腰三角形;其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为,
,且小正方形与大正方形面积之比为
,则
的值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
相交于
,
两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)若,求
的值.
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【题目】已知倾斜角为的直线
过点
和点
,点
在第一象限,
.
(1)求的坐标;
(2)若直线与两平行直线
,
相交于
、
两点,且
,求实数
的值;
(3)记集合直线
经过点
且与坐标轴围成的面积为
,
,针对
的不同取值,讨论集合
中的元素个数.
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