Question

已知函数f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a，若函数k（x）=f（x）-h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由k′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

．可知：当x=2时，函数k（x）取得最小值．函数k（x）=f（x）-h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，必需

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

，解得即可．

解答： 解：k（x）=x-2lnx-a（x∈[1，3]）．
k′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

．
可知：当x∈[1，2）时，k′（x）＜0，函数k（x）单调递减；当x∈（2，3]时，k′（x）＞0，函数k（x）单调递增．
∴当x=2时，函数k（x）取得最小值，k（2）=2-2ln2-a．
∵函数k（x）=f（x）-h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，
∴

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

，解得2-2ln2＜a≤3-2ln3．
∴实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]．
故答案为：（2-2ln2，3-2ln3]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及函数的零点问题，考查了转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．