Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则

b2

a2+c2

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可得ax²+（b-2a）x+（c-b）≥0恒成立，即△=（b-2a）²-4a（c-b）=b²+4a²-4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得

b2

a2+c2

的最大值．

解答： 解：∵f（x）=ax²+bx+c，
∴f′（x）=2ax+b，
∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，
∴ax²+bx+c≥2ax+b恒成立，
即ax²+（b-2a）x+（c-b）≥0恒成立，
故△=（b-2a）²-4a（c-b）=b²+4a²-4ac≤0，且a＞0，
即b²≤4ac-4a²，
∴4ac-4a²＞0，
∴c＞a＞0，
∴

c

a

-1＞0，
故

b2

a2+c2

≤

4ac-4a2

a2+c2

=

4× c a -4

1+( c a )2

=

4×( c a -1)

( c a -1)2+2×( c a -1)+2

=

4

( c a -1)+ 2 c a -1 +2

≤

4

2 2 +2

=2

2

-2，
故答案为：2

2

-2

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．