Question

△ABC中，BC=1，AB=

3

，AC=

6

，点P是△ABC的外接圆上的一个动点，则

BP

•

BC

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，

BP

•

BC

=|

BP

| |

BC

|cos∠PBC=|

BP

|cos∠PBC．设OP⊙O的半径，则 当OP∥BC且同向时，则

BP

•

BC

取得最大值．再利用正弦定理和余弦定理即可得出、垂径定理即可得出．

解答： 解：如图所示，

BP

•

BC

=|

BP

| |

BC

|cos∠PBC=|

BP

|cos∠PBC．
设OP为⊙O的半径，则 当OP∥BC且同向时，向量

BP

在

BC

方向上的投影最大，则

BP

•

BC

取得最大值．
由余弦定理可得：cosA=

3+6-1

2× 3 × 6

=

2 2

3

，∴sinA=

1

3

．
∴2R=

BC

sinA

=3．
∴|

BP

|cos∠PBC=|BD|=

1

2

|BC|+R=2．
∴

BP

•

BC

取得最大值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查了向量的数量积运算、向量的投影、正弦定理和余弦定理、垂径定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．