Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且asinA+（a+b）sinB=csinC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）知等式利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出角C；
（Ⅱ）余弦定理得，c²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，再利用基本不等式，可得a+b≤

2 3

3

，即可求△ABC的周长l的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式asinA+（a+b）sinB=csinC，利用正弦定理化简得：a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=-

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

2π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
而c=1，故1=（a+b）²-ab≥（a+b）²-(

a+b

2

)2=

3

4

（a+b）²，
∴a+b≤

2 3

3

，
又a+b＞c=1，
∴2＜a+b+c≤

2 3

3

+1，
即2＜l≤

2 3

3

+1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的周长的计算，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．