Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PA⊥面ABCD，且PA=AB，∠BAD=60°，E、F分别是PA、BC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）过BD作一平面交棱PC于点M，若二面角M-BD-C的大小为60°，求

CM

MP

的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取PD的中点G，连结EG、FG，证明四边形EGFB是平行四边形，可得BE∥FG，即可证明BE∥平面PDF；
（Ⅱ）连结AC交BD于O，连结OM，证明∠MOC就是二面角M-BD-C的平面角，求出CM，即可求

CM

MP

的值．

解答： （Ⅰ）证明：取PD的中点G，连结EG、FG，
因为E是PA的中点，所以EG∥AD，且EG=

1

2

AD，
又F是菱形ABCD边BC 的中点，
所以BF∥AD，且BF=

1

2

AD，
所以EG∥BC，且EG=BC，
所以四边形EGFB是平行四边形，
所以BE∥FG，…（5分）
而FG?平面，BE?平面PDF，…（6分）
所以BE∥平面PDF．…（7分）
（Ⅱ）解：连结AC交BD于O，连结OM，
因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥BD，
又BD⊥AC，且PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，…（10分）
从而OM⊥BD，OCBD，
所以∠MOC就是二面角M-BD-C的平面角，∠MOC=60°，…（12分）
设AB=1，因为PA=AB，∠BAD=60°，
所以PA=1，AC=

3

，PC=2，∠PCA=30°，
所以∠OMC=90°，
在Rt△OCM中，CM=

3

2

cos30°=

3

4

，…（14分）
所以

CM

MP

=

3 4

2- 3 4

=

3

5

   …（15分）

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定定理是关键．