Question

已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．
（1）求证：对任意x₁、x₂∈[-1，1]，有[f（x₁）+f（x₂）]•（x₁+x₂）≤0；
（2）若f（2-a²）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由x₂∈[-1，1]，可得-x₂∈[-1，1]，利用函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数，即可证明结论；
（2）f（2-a²）＞0，等价于-1≤2-a²＜0，即可求出实数a的取值范围．

解答： （1）证明：∵x₂∈[-1，1]，∴-x₂∈[-1，1]，
设x₁≤-x₂，则∵函数y=f（x）是减函数，
∴f（x₁）≥f（-x₂），
∵函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x₁）≥-f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）≥0，
∵x₁+x₂≤0，
∴[f（x₁）+f（x₂）]•（x₁+x₂）≤0；
（2）解：由题意f（0）=0，则
∵f（2-a²）＞0，
∴-1≤2-a²＜0，
∴-

3

≤a＜

2

或

2

＜a≤

3

．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．