Question

函数f（x）=3cos²

ωx

2

+

3

2

sinωx-

3

2

（ω＞0）在一个周期内的图线如图，A为图象的最高点，B、C为图线与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移一个单位长度后得到函数g（x）的图象，若x∈[0，2]，求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据函数的最大值求得函数的周期，最后利用周期公式求得ω，则函数解析式可得．
（Ⅱ）根据三角函数图象的平移法则求得g（x）的解析式，进而根据x 范围确定函数的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=3cos²

ωx

2

+

3

2

sinωx-

3

2

=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx=

3

sin（ωx+

π

3

），
∴f（x）_max=

3

，
∴BC=2，即

T

2

=2，
∴

2π

ω

=4，
∴ω=

π

2

，
∴f（x）=

3

sin（

π

2

x+

π

3

）；
（Ⅱ）依题意知g（x）=

3

sin[

π

2

（x-1）+

π

3

]=

3

sin（

π

2

x-

π

6

），
∵x∈[0，2]，
∴

π

2

x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴

3

sin（

π

2

x-

π

6

）∈[-

3

2

，

3

]，
即函数g（x）的值域为：[-

3

2

，

3

]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．解题的过程中注意结合三角函数图象来解决．