Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l₁：x-y-2

2

=0相切
（Ⅰ）求直线l₂：4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．
（Ⅱ）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程
（Ⅲ） 若与直线l₁垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由直线与圆相交的性质可知，（

AB

2

）²=r²-d²，要求AB，只要求解圆心到直线4x-3y+5=0的距离．即可求直线l₂：4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．
（Ⅱ）求出圆C的方程以及以G（1，3）为圆心，QM为半径的圆，利用圆系方程求直线MN的方程．
（Ⅲ）设直线l的方程为：y=-x+b联立x²+y²=4，设直线l与圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用△＞0，以及韦达定理，通过∠POQ为钝角，求出-2＜b＜2，当

OP

与

OQ

反向共线时，直线y=-x+b过原点，此时b=0，不满足题意，即可得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：圆心（0，0）到直线l₁：x-y-2

2

=0的距离为圆的半径，
r=

2 2

2

=2，所以圆C的标准方程为：x²+y²=4，…（2分）
所以圆心到直线l₂的距离d=

22-3

=1     …（3分）
∴|AB|=2

22-1

=2

3

…（4分）
（Ⅱ）因为点G（1，3），所以|OG|=

12+32

=

10

，|MG|=

OG2-OM2

=

6

所以以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程：（x-1）²+（y-3）²=6 （1）
又圆C方程为：x²+y²=4 （2），由（1）-（2）得直线MN方程：x+3y-4=0 …（8分）
（Ⅲ）设直线l的方程为：y=-x+b联立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
设直线l与圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，x₁+x₂=b，x1•x2=

b2-4

2

（3）…（10分）
因为∠POQ为钝角，所以

OP

•

OQ

＜0，
即满足x₁x₂+y₁y₂＜0，且

OP

与

OQ

不是反向共线，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b所以x1x2+y1y2=2x1x2-b(x1+x2)+b2＜0 （4）
由（3）（4）得b²＜4，满足△＞0，即-2＜b＜2，…（12分）
当

OP

与

OQ

反向共线时，直线y=-x+b过原点，此时b=0，不满足题意，
故直线l纵截距的取值范围是-2＜b＜2，且b≠0    …（14分）

点评：本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．