Question

（Ⅰ）已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ=

1

3

，求cos2θ的值；
（Ⅱ）已知-

π

2

＜α＜0＜β＜

π

2

，cos（α-β）=

3

5

，sinβ=

5

13

，求tanα的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）吧所给的等式平方可得sin2θ=-

8

9

＜0，可得θ∈（

π

2

，

3π

4

），2θ∈（π，

3π

2

），cos2θ＜0．再根据
cos2θ=-

1-sin22θ

，计算求得结果．
（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanβ 和tan（α-β）的值，再根据tanα=tan[（α-β）+β]，利用两角和的正切公式计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ=

1

3

，平方可得 1+2sinθcosθ=

1

9

，
∴sin2θ=-

8

9

＜0，∴θ∈（

π

2

，π），sinθ＞0，cosθ＜0，|sinθ|＞|cosθ|，
∴θ∈（

π

2

，

3π

4

），∴2θ∈（π，

3π

2

），∴cos2θ＜0．
∴cos2θ=-

1-sin22θ

=-

1- 64 81

=-

17

9

．
（Ⅱ）∵已知-

π

2

＜α＜0＜β＜

π

2

，sinβ=

5

13

，
∴cosβ=

1-sin2β

=

12

13

，∴tanβ=

sinβ

cosβ

=

5

12

．
∵cos（α-β）=

3

5

，∴-

π

2

＜α-β＜0，∴sin（α-β）=-

1-cos2(α-β)

=-

4

5

，tan（α-β）=-

4

3

．
∴tanα=tan[（α-β）+β]=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)tanβ

=

- 4 3 + 5 12

1-( 4 3 )× 5 12

=-

33

56

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．