Question

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC、C₁D₁的中点．
（1）求证：EF∥平面BB₁D₁D；
（2）求D点到平面BEF的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BD的中点G，连结EG，D₁G，证明四边形EEGD₁F为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理，证明EF∥平面BB₁D₁D；
（2）设D点到平面BEF的距离为h，由等体积可得D点到平面BEF的距离．

解答： （1）证明：取BD的中点G，连结EG，D₁G，
因为E为BC的中点，所以EG为三角形BCD的中位线
则EG∥DC，且EG=

1

2

CD，
∵F为C₁D₁的中点，∴D₁F∥CD，且D₁F=

1

2

CD，
∴EG∥D₁C，且EG=D₁F，∴四边形EGD₁F为平行四边形，
∴D₁G∥EF，而D₁G?平面BB₁D₁D，EF?平面BB₁D₁D，
∴EF∥平面BB₁D₁D；
（2）解：设D点到平面BEF的距离为h．
则S_△BEF=

1

2

•2•

20

=2

5

，S_△BDE=

1

2

•2•4=2，
∴由等体积可得

1

3

•2

5

•h=

1

3

•2•2，
∴h=

2 5

5

．

点评：本题考查线面平行，考查点面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．