Question

已知f（x）=

1+ 2 sin(2x+ π 4 )

cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设α为第一象限角且tanα=

3

4

，求f（α）．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由余弦函数的性质知，cosx≠0，得x≠kπ+

π

2

，k∈Z．从而可得f（x）的定义域；
（Ⅱ）依题意，可求得sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，sin2α=2sinαcosα=

24

25

，cos2α=2cos²α-1=

7

25

，从而可得f（α）=

1+sin2α+cos2α

cosα

的值．

解答： 解：（Ⅰ）由cosx≠0，得x≠kπ+

π

2

，k∈Z．
∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z．}；
（Ⅱ）∵α为第一象限角且tanα=

3

4

，不妨设α终边上一点P（4，3），
则|OP|=5，sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，
∴sin2α=2sinαcosα=

24

25

，cos2α=2cos²α-1=

7

25

，
∴f（α）=

1+sin2α+cos2α

cosα

=

1+ 24 25 + 7 25

4 5

=

14

5

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查同角三角函数间的关系式及二倍角公式的应用，考查三角函数的化简与求值，属于中档题．