Question

设等比数列{a_n}的公比为q，其前n项的积为T_n，首项a₁＞1，a₂₀₁₄a₂₀₁₅-1＞0，

a2014-1

a2015-1

＜0，则使T_n＞1成立的最大自然数n=

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：利用等比数列的性质，结合首项a₁＞1，a₂₀₁₄a₂₀₁₅-1＞0，

a2014-1

a2015-1

＜0，即可得出结论．

解答： 解：∵a₂₀₁₄a₂₀₁₅-1＞0，∴a₂₀₁₄a₂₀₁₅＞1，
又∵

a2014-1

a2015-1

＜0，∴a₂₀₁₄＞1，且a₂₀₁₅＜1．
T₄₀₂₈=a₁•a₂…a₄₀₂₈=（a₁•a₄₀₂₈）（a₂•a₄₀₂₇）…（a₂₀₁₄•a₂₀₁₅）=（a₂₀₁₄•a₂₀₁₅）²⁰¹⁴＞1，
T₄₀₂₉=a₁•a₂…a₄₀₂₉=（a₁•a₄₀₂₉）（a₂•a₄₀₂₈）…（a₂₀₁₄•a₂₀₁₆）a₂₀₁₅＜1，
∴使T_n＞1成立的最大自然数n=4028．
故答案为：4028．

点评：本题考查的知识点是等比数列的性质：若m+n=p+q则有a_m•a_n=a_p•a_q．其中根据已知条件得到a₂₀₁₄a₂₀₁₅＞1，a₂₀₁₄＞1，且a₂₀₁₅＜1是解答本题的关键，属于基础题．